الدرس 6 للسنة الرابعة متوسط: برمجة القاسم المشترك الأكبر لعددين PGCD

الوضعية الانطلاقية

تعلّمتم في مادة الرياضيات للسنة الرابعة متوسط كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لعددين طبيعيين لاختزال الكسور وتبسيطها. ولكن عند التعامل مع أعداد كبيرة جداً، تتطلب الحسابات اليدوية وقتاً وجهداً وقد يقع التلميذ في أخطاء حسابية.
التساؤل: كيف يمكننا توظيف برنامج المجدول Excel لحساب PGCD في لحظة واحدة؟ وهل يمكننا تعليم الحاسوب محاكاة خوارزمية الفروق المتتالية خطوة بخطوة بالصيغ البرمجية؟

1. تذكير: ما هو القاسم المشترك الأكبر لعددين (PGCD)؟

القاسم المشترك الأكبر ويرمز له اختصاراً بـ PGCD (أو GCD بالإنجليزية): هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم عددين معاً في نفس الوقت دون باقٍ (أي يكون باقي قسمتهما عليه يساوي صفراً).
مثال: قواسم العدد 6 هي {1, 2, 3, 6}، وقواسم العدد 8 هي {1, 2, 4, 8}. القواسم المشتركة هي {1, 2}، وأكبرها هو 2، فنكتب: PGCD(6, 8) = 2.

2. الطريقة الأولى: الحساب المباشر بواسطة الدالة الجاهزة

يوفر برنامج Microsoft Excel دالة رياضية جاهزة ومباشرة لحساب القاسم المشترك الأكبر:

• في النسخة الفرنسية للإكسل: الدالة هي =PGCD(العدد1; العدد2)
• في النسخة الإنجليزية للإكسل: الدالة هي =GCD(Number1, Number2)

يكفي تحديد الخلية وكتابة: =PGCD(A2; B2) والضغط على مفتاح Enter لتظهر النتيجة فوراً:

3. الطريقة الثانية: نمذجة خوارزمية الفروق المتتالية (طريقة الطرح)

التحدي البرمجي: كيف نحسب PGCD لعددين إذا لم نكن نعرف الدالة المباشرة، أو إذا أردنا عرض مراحل الحل خطوة بخطوة كما في كراس الرياضيات؟
تعتمد خوارزمية الفروق المتتالية على القاعدة: PGCD(a, b) = PGCD(b, a - b). نقوم بنمذجتها في إكسل وفق الخطوات التالية:

1. الخطوة 1: حساب الفرق في السطر الأول:
   نضع العدد الأكبر في العمود الأول (الخلية A2) والعدد الأصغر في العمود الثاني (الخلية B2). ثم نحسب الفرق بينهما في الخلية C2 بكتابة الصيغة: =A2-B2
   
2. الخطوة 2: استخراج القيمة الأكبر للسطر الموالي:
   في السطر التالي، نقارن بين العدد الأصغر السابق (B2) وقيمة الفرق (C2)، ونضع القيمة الأكبر منهما في الخلية A3 باستعمال دالة القيمة العظمى: =MAX(B2;C2)
   
3. الخطوة 3: استخراج القيمة الأصغر للسطر الموالي:
   في نفس السطر، نضع القيمة الأصغر بين (B2) و (C2) في الخلية B3 باستعمال دالة القيمة الصغرى: =MIN(B2;C2)
   
4. الخطوة 4: السحب التلقائي وتحديد النتيجة:
   نحسب الفرق في C3 عبر =A3-B3، ثم نحدد خلايا السطر الثالث (A3:C3) ونسحب بمقبض التعبئة التلقائية إلى الأسفل.
   تتوقف العملية عند الحصول على فرق يساوي 0، ويكون القاسم المشترك الأكبر هو آخر فرق غير معدوم (في مثالنا: العدد 2).
   

تطبيق صفي

إليك العددان: 495 و 135:

1. احسب القاسم المشترك الأكبر لهما في برنامج Excel باستعمال الدالة المباشرة.
2. أنشئ جدولاً يحاكي طريقة الفروق المتتالية بالصيغ، وتأكد من تطابق النتيجة مع الطريقة المباشرة.
3. سؤال التحدي: كيف يمكننا تطبيق خوارزمية إقليدس (القسمات الإقليدية المتتالية) في Excel؟
   (تلميح: استعن بدالة باقي القسمة =MOD(العدد الأكبر; العدد الأصغر) ليكون PGCD هو آخر باقي قسمة غير معدوم).